Unidade III: Movimento Uniformemente
Variado (M.U.V.)
3.1- Aceleração Escalar
(a): Em movimentos nos quais as velocidades
dos móveis variam com o decurso do tempo, introduz-se o conceito de uma grandeza
cinemática denominada aceleração.
ACELERAÇÃO ESCALAR (a) = taxa de variação da velocidade escalar
numa unidade de tempo.
Num intervalo de tempo (Dt = tf -
ti ) , com uma variação
de velocidade escalar (Dv = vf -
vi ) , define-se a aceleração escalar média (am) pela
relação:
Dv
am =
Dt
Quando o intervalo de tempo é
infinitamente pequeno, a aceleração escalar média passa a ser chamada de
aceleração escalar instantânea (a) .
EXEMPLO 1: Qual é a aceleração
de um móvel que em 5s altera a sua
velocidade escalar de 3 m/s para 13 m/s ?
Solução:
Dv v -
v0
13 m/s - 3 m/s
10 m/s
2
m/s
am =
=
logo
am =
Þ am =
Þ am =
Dt
t - t0
5 s
5 s
s
Conclusão: am = 2 m/s2 Þ Esse resultado indica que a cada
segundo que passa, a velocidade escalar aumenta em 2m/s em
média.
3.2- Classificação do
movimento: A classificação do movimento com
variação de velocidade escalar é feita comparando-se os sinais da velocidade e
da aceleração em um certo momento, deste modo:
v > 0 e a > 0
+
+
- ACELERADO Þ mesmo sinal
v < 0 e a < 0
-
-
v > 0 e a < 0
+
-
- RETARDADO Þ sinais opostos
v < 0 e a > 0
-
+
Conclui-se matematicamente, que nos movimentos acelerados o módulo da
velocidade aumenta, enquanto que nos retardados, diminui.
EXEMPLO 2: Qual é a aceleração escalar média de uma
partícula que, em 10 segundos, altera a velocidade escalar de 17 m/s para 2 m/s? Classifique o
movimento.
Solução: Como já vimos no
exemplo 1 :
v - v0
2 - 17
15
am
=
logo
am =
= -
= - 1,5
m/s2
t - t0
10
10
Observe que esta partícula está
sendo freada pois sua velocidade é positiva mas sua aceleração é negativa, logo,
temos um movimento progressivo
retardado.
Obs: As unidades mais
utilizadas de aceleração são:
|
No
SI |
No
CGS |
Outras |
|
m/s2 |
cm/s2 |
km/h2 ,
km/s2
etc. |
3.3- Movimento Uniformemente
Variado (M.U.V) : Um movimento no qual o móvel
mantém sua aceleração escalar constante, não nula, é denominado movimento
uniformemente variado. Em consequência, a aceleração escalar instantânea (a) e a
aceleração escalar média (am) são iguais.
3.3.1- Equação das
velocidades: Como no MUV a aceleração é
constante, teremos a =
am ou seja:
Como Dt = t – t0,
chamaremos de t0 o exato momento em que se dispara um
cronômetro para registrar o tempo t0 =
0
v – v0 = a .
t
Þ
Esta expressão é chamada de equação horária das velocidades de um
MUV.
EXEMPLO 3: Um móvel tem velocidade de
20 m/s quando a ele é aplicada uma aceleração constante e igual a - 2 m/s2
. Determine: a) o
instante em que o móvel pára;
b) classifique o movimento antes da parada e depois da parada sabendo-se
que o móvel continuou com
aceleração
igual.
Solução: Dados: v0 = 20 m/s
a) t = ? v
= 0
a =
- 2 m/s2
v =
v0 + a.t
Þ 0 = 20 - 2.t
Þ 2t = 20
Þ t = 10 s
b) Como o movimento é
uniformemente variado, isto significa que a aceleração é constante, sendo
assim a = - 2 m/s2 < 0
Antes da parada - v > 0 e a < 0 -
MUV progressivo e retardado
Depois da parada -
v < 0 e a < 0 - MUV retrógrado e
acelerado.
Obs: Se você não enxergou
que a velocidade antes de 10 s é
maior que zero e depois de 10 s
é menor que zero, basta substituir um tempo qualquer na equação das
velocidades que verificará.
3.3.2- Gráfico das
velocidades no MUV: Como no MUV temos que v
= v0 +
a t (uma função do 1º grau
em t ) o diagrama correspondente será uma reta. Essa reta poderá ser crescente
ou decrescente conforme a aceleração seja maior ou menor que
zero.
v
v
v0
v0
a > 0
a < 0
t
t
Da mesma forma que no M.U.
, a área sob o gráfico v x t é numericamente igual ao espaço
percorrido entre dois instantes:
Uma outra propriedade relacionada ao diagrama v x t para o MUV , está ligada à tangente do ângulo formado entre o eixo t e a reta do gráfico v x t:
Sabemos que
tgQ = Dv / Dt = a
n
Portanto
tgQ = a Conclusão : A tangente
é numericamente igual a aceleração da partícula.
EXEMPLO 4: Um ponto material desloca-se sobre uma
reta e sua velocidade em função do tempo é dada pelo
gráfico:
v(m/s)
Pede-se:
a) a velocidade
inicial;
9
b) a aceleração;
c) a função horária
das velocidades;
5
d) o deslocamento do
ponto material entre 0 e 2s;
e) a velocidade média
entre 0 e 2s.
0
2
t(s)
Solução: a) A velocidade
inicial é determinada quando t = 0 ,
logo v0 =
5 m/s.
b) A aceleração é calculada
pela tangente do ângulo Q .
9
Dv v2 -
v0 9 -
5
4
Dt
= t - t0
a = tgQ
=
=
=
=
= 2
5
Q
Dt t2 -
t0 2 -
0
2
Dv = v -
v0
então: a = 2
m/s2
0
2
t(s)
c) Como o gráfico v = f(t) é
uma reta, a função é do 1º grau; portanto: v = v0 +
a.t
Substituindo os
valores encontrados temos: v = 5 + 2 t
d) O deslocamento é
calculado pela área compreendida entre os instantes 0 e 2s e a reta que representa a
velocidade:
v (m/s)
Área do
trapézio
9
(9 + 5) . 2
A = DS =
= 14 m
5
A
2
0
2
t(s)
e) DS 14
Vm =
=
= 7
, logo Vm =
7 m/s
Dt
2
V1 + V2 5 +
9
14
ou leitura do gráfico só
para MUV:
Vm = =
=
=
7m/s
2
2
2
EXERCÍCIOS DE
APRENDIZAGEM:
1) O gráfico da velocidade
para um móvel que se desloca numa trajetória retilínea é dado a
seguir:
Determine: a) A função horária das
velocidades ;
b) o
deslocamento do móvel entre 0 e 5 s
c) a
velocidade média entre 0 e 5s.
V
(m/s)
15
0
5
t(s)
2) Os gráficos abaixo
indicados representam a velocidade de um móvel em função do tempo. Determine
para cada caso a função v = f(t) .
v(m/s)
v
(m/s)
v
(m/s)
8
10
6
6
1
t(s)
0
2
t(s)
0
4 t
(s)
3.3.3- Gráfico da
aceleração: No movimento uniformemente
variado a aceleração é constante e diferente de zero; portanto, o gráfico tem as
formas:
a
a
a =
cte > 0
0
t
a = cte < 0
0
t
Propriedade: No gráfico a = f(t) a área A ,
compreendida entre os instantes t1 e
t2 , mede a
variação de velocidade entre estes instantes.
a
Sabemos que: A =
a1 . (t2 -
t1)
1
DV
DV
a1
Mas
a1 = =
Þ DV = a1 . (t2 -
t1)
2
A
Dt
t2 - t1
0 t1
t2
t
Comparando 1 e 2 vem :
numericamente
1 = 2
Þ
A = DV
EXEMPLO 5: O gráfico a seguir indica a aceleração
adquirida por um móvel em função do tempo sobre uma trajetória
retilínea:
a(m/s2)
4
t
(s)
Sabendo que no instante t =
0 o móvel tinha velocidade 10
m/s e estava na posição + 8m , pede-se:
Construir o gráfico da velocidade em
função do tempo.
Solução:
Cálculo
de:
a(m/s2)
A1 = 3 Þ DV1 = 3 m/s
5
A2 = 5 Þ DV2 = 5 m/s
4
A3 = 4 Þ DV3 = 4 m/s
3
A4 = 4 Þ DV4 = -4 m/s
A1
A2
A3
t(s)
0
1
2
3
4
5
A4
-4
A velocidade no instante t =
1s é: V1 = V0 +
DV1 = 10 + 3 = 13 m/s.
A velocidade no instante t =
2s é: V2 = V1 +
DV2 = 13 + 5 = 18 m/s.
A velocidade no instante t =
3s é: V3 = V2 +
DV3 = 18 + 4 = 22 m/s.
A velocidade no instante t =
4s é: V4 = V3 =
22 m/s.
A velocidade no instante t =
5s é: V5 = V4 -
DV4 = 22 - 4 = 18 m/s.
V
(m/s)
22
18
13
10 A2 A3
A4
A5
A1
t(s)
0
1
2
3
4
5
EXERCÍCIOS DE
APRENDIZAGEM:
3) O gráfico a seguir indica
a velocidade em função do tempo de um móvel que se movimenta sobre uma
trajetória retilínea:
v(m/s)
10
8 9 10
11
0
2
4
6
t(s)
-
5
4) O gráfico abaixo indica a
aceleração adquirida por um móvel sobre uma trajetória
retilínea.
Sabendo que no
instante t = 0s o móvel tinha velocidade de 8 m/s e estava na origem das
posições, pede-se: a)
construir o gráfico v
= f(t); b)
representar numa
trajetória esse
movimento.
a (m/s2)
3
0
2
4
6
8
10
t(s)
-3
3.3.4 - Equação horária das
posições no MUV: Uma das formas de demonstrar a função
horária do espaço do MUV é a partir
do diagrama v x t:
V
n
B + b
n
n
n
Ds =
área =
. h e B =
v , b =
v0 e h =
t
v
2
v +
v0
B
Então: Ds =
.
t , onde v = v0 +
a . t
v0
2
t
Logo:
v0 + a . t + v0
2v0 . t +
a . t2
a.t2
0
h
t
Ds =
. t =
= v0 . t +
2
2
2
ou
a.t2
s - s0 =
v0 . t +
Portanto, s = f(t) do MUV é:
a .
t2
2
S = S0 +
V0 . t +
2
Esta função é do 2º grau em t, cujo gráfico é parabólico, como será visto no próximo segmento.
EXEMPLO 6: Um móvel desloca-se sobre uma reta segundo a função horária S = -15 - 2t +
t2 (no SI) .
Pede-se:
a) o tipo de
movimento;
b) a posição
inicial;
c) a velocidade
inicial;
d) a
aceleração;
e) a função v = f(t);
f) o instante em que o móvel
passa pela origem das posições.
Solução: a) A função
horária S = -15 - 2t +
t2 é do 2º grau,
portanto o movimento é uniformemente variado.
b) Por comparação:
S = S0 +
v0 t + a/2 .
t2
Þ S0 =
-15 m (o móvel está a 15
metros da origem.
c) Também por comparação
temos que V0 =
-2 m/s.
d) Por comparação
temos: (1/2) a = 1 então a = 2
m/s2
e) V = V0 +
a.t Þ Substituindo os
valores encontrados anteriormente temos que: V = -2 + 2.t
f) A origem das posições temos quando S = 0 :
S
= -15 - 2t + t2
0 = -15 - 2t + t2
__
Resolvendo a equação temos:
t= - b ±
= 2 ± (8) Þ t = 5s . Obs Em cinemática só se considera o
2
a
2
tempo
positivo.
EXERCÍCIO DE
APRENDIZAGEM:
5) Um ponto material caminha em MUV segundo
a função horária S = 12 - 8 t + 4
t2 , no S.I. Pergunta-se:
a) qual a sua posição
inicial;
b) qual a sua velocidade
inicial;
c) qual a sua
aceleração;
d) qual a sua posição no
instante 10 s;
e) o instante em que ele
passa pela origem dos espaços;
f) determine a função
horária das velocidades;
g) o instante em que o móvel
inverte o sentido do movimento;
h) classifique o movimento
para o instante t = 3s .
3.3.5 - Gráfico S x t no
M.U.V. : Para o MUV temos que S = S0 +
V0 t + at2 / 2
. Como esta é uma
função do 2º grau em t, o gráfico correspondente será uma
parábola.
S
S0
t
- PROPRIEDADES DO
DIAGRAMA:
1ª) O diagrama horário de um MUV resulta
sempre numa parábola, a qual pode apresentar sua concavidade voltada para cima
ou para baixo:
S
S
S0
t
a >
0
S0
a
< 0
t
O fato de a concavidade ser
voltada para cima ou para baixo depende de o sinal da aceleração ser positivo ou
negativo.
2º) No diagrama horário,
quando a curva se apresenta ascendente, a velocidade é positiva; quando
descendente, a velocidade é negativa. Nos vértices das parábolas, as velocidades
se anulam.
V = 0
S
S
V > 0 V <
0
S0
t
V < 0
V > 0
t
V = 0
A 2ª propriedade é que de uma maneira não muito simples, pode-se calcular
velocidades através de tangentes, da mesma forma que já foi visto no M.U. . A
demonstração disso você verá quando cursar a universidade e poderá utilizar esse
fato quando conhecer um pouco de limites e derivadas que será dado no curso de
Matemática.
EXEMPLO 7: Baseado no que foi exposto, analisemos o
gráfico abaixo:
S
t3
t4
t7
t8
t
0
t1
t2
t5
t6
Dele podemos concluir
que:
1- De 0 a t2 temos um M.U.V. com aceleração negativa, pois a
concavidade da parábola é para baixo.
2- De 0 a t1 o movimento é progressivo, pois o espaço
é crescente, o que nos indica velocidade positiva.
3- De 0 a t1 o movimento é retardado, pois a
velocidade e a aceleração apresentam sinais
contrários.
4- De t1 a
t2 o movimento é
retrógrado e acelerado, pois temos velocidade e aceleração
negativas.
5- De t2 a
t4 a aceleração é
positiva pois a concavidade da parábola é para cima.
6- De t2 a
t3 o movimento é
retrógrado e retardado, pois a velocidade é negativa e a aceleração é
positiva.
7- De t3 a
t4 o movimento é
progressivo e acelerado, pois a velocidade e a aceleração são
positivas.
8- De t4 a
t5 o movimento é
progressivo e uniforme, pois o espaço varia linearmente com o tempo e a curva é
crescente.
9- De t5 a
t6 o corpo está
em repouso, pois a sua posição não varia no decorrer do
tempo.
10- A partir de
t6 o movimento é
uniforme e retrógrado, pois o espaço varia linearmente com o tempo e a curva é
decrescente.
11- Nos instantes
t1 e t3 o móvel inverte o sentido do
movimento.
3.3.6 - Equação de
Torricelli : Temos até agora duas funções que nos
permitem saber a posição do móvel e a sua velocidade em relação ao tempo.
Torna-se útil encontrar uma equação que possibilite conhecer a velocidade de um
móvel sem saber o tempo.
A equação de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido
pelo móvel. É obtida eliminando o tempo entre as funções horárias da posição e
da velocidade.
S
= S0 + V0 . t +
(a.t2) / 2 1
V =
V0 + a . t
2
Isolando o tempo t na
segunda equação e substituindo na primeira, vem:
De (2) : 
Substituindo em
(1) 
Reduzindo ao mesmo
denominador:
2a(S - S0) = 2 v0v -
2v02
+ v2 -
2vv0 + v02
2a(S - S0) = - v02 +
v2
v2 = v02 +
2 a (S - S0) mas DS = S - S0
Sendo assim:
v2 = v02 +
2aDS
Solução: São dados - v = 144 Km/h =
40 m/s
DS = 50
m
v0 = 0
v2 =
v02
+ 2.a. DS
402 =
02 + 2.a.50 Þ 1600 =
100 a
Þ
a = 16
m/s2
EXERCÍCIOS DE
APRENDIZAGEM:
6) Um carro tem velocidade
de 20 m/s quando, a 30 m de
distância, um sinal vermelho é observado. Qual deve ser a desaceleração
produzida pelos freios para que o carro pare a 5 m do sinal?
7) A equação horária de um
móvel é S = 3 - 4t +
t2 (SI) . Construa
o diagrama S x t desse
movimento.
Sujestão: Após construir o
diagrama, retorne para a equação horária a partir do
diagrama.
8) Classifique o movimento
para cada trecho do diagrama S x t
abaixo:
s
t3
t8
0
t1
t2
t4
t5
t6
t7
t7
t
Exercícios de
Fixação:
9) Coloque V de verdadeiro ou F de falso:
( ) 1. No MRUV a aceleração do móvel varia linearmente com o tempo.
( ) 2. No MRUV a velocidade varia linearmente com o tempo.
( ) 3. Um carro em marcha a ré não pode realizar movimento acelerado.
( ) 4. No movimento uniformemente retardado a velocidade e a aceleração têm sinais opostos.
( ) 5. No MRUV o diagrama e x t fornece uma reta inclinada em relação ao eixo dos tempos.
( ) 6. A declividade da reta que você obtém ao construir o diagrama v x t indica a aceleração do móvel.
( ) 7. A velocidade média do móvel que realiza MRUV , entre dois instantes, vale a média aritmética das velocidades instantâneas que o móvel apresenta nos citados instantes.
( ) 8. O movimento uniformemente acelerado não pode ser retrógrado.
10) Um móvel percorre o segmento de reta AC com velocidade constante,passando por um ponto B, onde AB ¹ BC . Se t1 e t2 são os tempos gastos nos percurso AB e BC, é verdadeira a seguinte relação:
a) AB / t1 = BC / t2 b) AB / BC = t2 / t1 c) AB / BC = (t2 / t1)2 d) AC = (AB / t1 ) + ( BC / t2 ) e) AC = (AB + BC) t1 t2
11) Um móvel partindo do repouso executa movimento retilíneo cuja aceleração escalar varia com o tempo conforme o diagrama. Pode-se afirmar que ao fim de 4s, o espaço percorrido é:
a
(m/s2)
a) 45 m
b) 100
m
4
c) 180 m
d) 30 m
e) 50 m
t(s)
0 3 6
12) Um ponto material caminha em MUV com aceleração de 10 m/s2 . Sabendo-se que inicialmente sua posição era 30 m e sua velocidade 15 m/s , encontre a sua função horária e a sua posição no instante t = 3s.
13) É conhecida a função das velocidades de um ponto material que caminha em MUV como v = 2 - 8t (SI). Sabendo-se que o móvel partiu da origem pede-se:
a) a função horária do móvel;
b) o instante em que sua velocidade é nula;
c) o instante em que o móvel passa pela posição -6m .
14) Um automóvel trafega sobre uma avenida em M.U. quando é obrigado a freiar bruscamente para não bater em um poste. Sabendo-se que sua velocidade antes de frear era 20 m/s e que ele pára em 2s , e supondo que a aceleração imposta pelos freios é constante, qual a distância que ele percorre durante a freagem?
15) Um fuzil é acionado e sabe-se que a bala sai do cano com velocidade de 500 m/s. Sabe-se também que o comprimento do cano é 0,7 m. Calcule:
a) a aceleração da bala dentro do cano (suposta constante);
b) o tempo de percurso da bala dentro do cano.
16) O diagrama abaixo representa a variação da velocidade de um móvel em relação ao tempo. Determine:
V (m/s)
15
a) a aceleração do móvel;
b)
o instante em que a velocidade é nula.
0
5 t (s)
-10
17) Um ponto material caminha obedecendo a função horária S = 2t2 - 18t + 6 (MKS) . Pede-se:
a) sua posição inicial;
b) sua velocidade inicial;
c) sua aceleração;
d) os instantes em que o móvel passa pela posição -10m.
18) Um ponto material caminha em MUV obedecendo a seguinte função das velocidades: v = 10 - 4t (SI) . Pede-se:
a) classificar o movimento para t = 2s;
b) classificar o movimento para t = 3s.
19) Um ponto material caminha segundo a função S = 3t - 8t2 (SI) . Classifique o movimento do móvel para:
a) t = 0 b) t =
1s.
20) Um motorista quando enxerga um obstáculo e precisa frear, leva cerca de 0,7s para acionar os freios. Se um motorista caminha a 20 m/s , que distância irá percorrer após enxergar um obstáculo e frear (parar) ? Suponha que os freios do carro imprimam ao veículo uma aceleração de 5 m/s2 .
21) Um objeto se move de acordo com a seguinte equação horária: d = 5t2 + 2t + 3. Determine a velocidade média deste objeto entre os instantes 0 e 2s (use sistema CGS).
22) Um móvel animado de MRUV , parte do repouso e adquire ao fim de 5s a velocidade de 18 Km/h . Que distância, em metros percorreu o móvel durante esse tempo?
23) Uma partícula se movimenta segundo a equação e = 5 + 2t + 5t2 . Nestas condições pode-se afirmar que, no SI:
a) a partícula se movimenta com a velocidade de 10 m/s;
b) a partícula se movimenta com aceleração variável;
c) no intervalo de tempo de 1 a 3s sua velocidade média é de 22 m/s;
d) a trajetória descrita por ela é retilínea;
e) a partícula inicia seu movimento com velocidade de 5 m/s.
24)
O gráfico representa a velocidade de uma partícula em função do tempo. Podemos
afirmar que:
a) o movimento é retilíneo uniformemente variado;
b) o movimento é acelerado somente no trecho CD;
c) o movimento é retardado somente no trecho DE;
d) nenhuma das afirmativas é satisfatória.
25) O gráfico a seguir representa a posição de um móvel dado pelo espaço em função do tempo. A velocidade escalar média no intervalo de 0 a 7s foi igual a:
e(m)
a)
20 m/s
40
b) 2 m/s
c)
23 m/s
30
d) 6,6 m/s
e)
zero.
0
3
5 6 7
t(s)
As informações a seguir referem-se às questões de 26 e 27:
Uma partícula descreve o movimento cujo gráfico horário, parabólico é dado abaixo, mostrando que para t = 1s , x é máximo. Os valores da abcissa x são medidos a partir de um ponto 0, ponto origem da reta orientada sobre a qual a partícula se movimenta.
x(m)
16
15
0 1
5
t(s)
26) A equação horária é:
a) x = 15 + 2t +
t2
b) x = 15 - 2t - t2
c) x = 15 - t
+ t2
d) x = 15 + 2t -
t2
e) x = 15 - 2t + ½ t2
27) A velocidade da partícula obedece a equação:
a) v = 2 - t
b) v = -2 + t
c) v = 2 - 2t
d) v = 2 + 2t
e) v = 1 - 2t
As informações a seguir referem-se às questões de 28 a 32:
O diagrama representa a velocidade de um pequeno foguete, com um só estágio, lançado verticalmente.
V(m/s)
500
0 10 60 t(s)
28) Enquanto o motor está funcionando a aceleração é:
a) 5,00 x 103 m/s2 b) 2,5 x 10 m/s2 c) 5,0 m/s2 d) 9,8 m/s2 e) n.r.a.
29) A altura em que o motor deixa de funcionar é:
a) 5,00 x 10 m b) 5,00 x 103 m c) 2,50 x 10 m d) 1,00 x 103 m e) n.r.a.
30) O foguete atinge sua altitude máxima no instante:
a) 10s b) 60s c) 5s d) 115s e) n.r.a.
31) A altitude máxima atingida pelo foguete é:
a) 3,00 x 104 m b) 2,50 x 103 m c) 1,50 x 104 m d) 5,00 x 102 m e) n.r.a.
32) O foguete atingirá o solo no instante t que vale aproximadamente:
a) 100s b) 120s c) 115s d) 60,0s e) n.r.a.
33) A velocidade de um carro em função do tempo, pode ser descrita pelo gráfico abaixo. Quanto andou o carro nos primeiros 5s? Quanto andou durante vinte segundos? Qual a velocidade média do movimento?
V(m/s)
20
t(s)
0 5 15 20
34)
O diagrama abaixo representa, em função do tempo, a velocidade de um objeto.
Traçar um diagrama da aceleração em função do tempo.
V(m/s)
20
0 10 20 30 t(s)
-20
35) Eis o diagrama representativo da variação do espaço S de um móvel em função do tempo t:
S(m)
Assinale a alternativa errada:
5 a) A velocidade inicial é negativa.
b) Entre 0 e 1s , o movimento é retrógrado e uniformemente retardado.
t(s) c) A partir de t = 3s o movimento é uniforme.
0 1 2 3 d) A velocidade escalar média entre 0 e 3s é igual a 5/3 m/s.
e) n.r.a.
-5
Dado o gráfico seguinte, que representa a variação do espaço de uma partícula em relação ao tempo, responda às questões de 36 a 45 de acordo com o seguinte código:
a. A assertiva e a razão são proposições corretas e a razão é justificativa da assertiva.
b. A assertiva e a razão são proposições corretas, porém a razão não é justificativa correta da assertiva.
c. A assertiva está correta e a razão incorreta.
d. A assertiva está incorreta e a razão correta.
S
0
t1
t2
t2
t3 t4 t
36) ( ) De 0 a t1 o móvel está se aproximando da origem dos espaços PORQUE de 0 a t1 a velocidade é negativa.
37) ( ) De 0 a t1 o movimento é acelerado PORQUE de 0 a t1 a aceleração é positiva.
38) ( ) De 0 a t1 o movimento é uniformemente variado PORQUE a velocidade é função do 2º grau em relação ao tempo.
39) ( ) De 0 a t1 o movimento é retrógrado PORQUE de 0 a t1 a velocidade é negativa.
40) ( ) De t1 a t2 o movimento é retardado PORQUE de t1 a t2 a velocidade diminui em módulo.
41) ( ) De t1 a t2 o móvel se afasta da origem dos espaços PORQUE no instante t = 2s a aceleração é nula.
42) ( ) De t2 a t3 o movimento é progressivo PORQUE de t2 a t3 a aceleração é positivo.
43) ( ) De t2 a t3 o movimento é acelerado PORQUE de t2 a t3 a velocidade aumenta em módulo.
44) ( ) De t3 a t4 o móvel está em repouso PORQUE de t3 a t4 a aceleração é nula.
45) ( ) De t3 a t4 o movimento é uniforme PORQUE de t3 a t4 o espaço varia linearmente com o tempo.
3.4 - Lançamento Vertical e
Queda Livre:
Quando um corpo é lançado nas proximidades da superfície da Terra fica
sujeito a uma aceleração constante, orientada sempre para baixo, na direção
vertical. Tal aceleração será estudada na Gravitação. Ela existe devido ao campo
gravitacional terrestre.
A aceleração da gravidade não é a mesma em todos os lugares da Terra. Ela
varia com a latitude e com a altitude. Ela aumenta quando se passa do equador (g
= 9,78039 m/s2) para o pólo (g = 9,83217 m/s2) . Ela
diminui quando se vai da base de uma montanha para o seu cume.
O valor de g num lugar situado ao nível do mar e à latitude de 45º
chama-se aceleração normal da gravidade.
gnormal = 9,80665
m/s2
Se trabalharmos com dois algarismos significativos apenas, podemos
considerar o valor de g como o mesmo para todos os lugares da
Terra:
g =
9,8 m/s2
Para facilitar os cálculos normalmente usa-se g = 10 m/s2
.
A expressão queda livre , utilizada com
frequência, refere-se a um movimento de descida, livre dos efeitos do ar; é,
portanto, um M.U.V. acelerado sob a ação da aceleração da gravidade, assim como
no lançamento vertical. Porém no lançamento vertical, quando o corpo sobe o
movimento é retardado e quando desce é acelerado.
Observações: 1) Como a aceleração da gravidade nas
proximidades da Terra é constante, nosso movimento será uniformemente variado.
(MUV)
2) Em um mesmo lugar da
Terra todos os corpos caem livremente com a mesma aceleração, independentemente
do seu peso, forma ou tamanho. Isto é, naquele lugar da Terra o valor de g é o
mesmo para qualquer corpo em queda livre.
3) Quando lançamos um
corpo verticalmente para cima, quando este alcançar a altura
máxima, sua velocidade será nula (V = 0).
Na subida
Na altura
máxima
Na descida
v = 0
v diminui
g cte.
g
cte.
g cte.
v
aumenta
MUV retardado
Mudança de
sentido
MUV
acelerado
Há duas possibilidades para
a orientação da trajetória, conforme as conveniências. A seguir, elas são
apresentadas com as respectivas equações, em que o espaço (S) é trocado pela
altura (h) e a aceleração escalar (a) , pela aceleração gravitacional (g)
:
Orientação para cima
Orientação para
baixo
v < 0
+
h
+ g
- g
v
> 0
v > 0 Nível de Nível de
referência
referência
(h = 0)
(h =0)
+ h
v < 0
a = - g
a = g
g . t2 g .
t2
h = h0 + v0 t -
h = h0 + v0 t +
2
2
v = v0 - g.t
v = v0 +
g.t
v2 = v02 - 2.g.Dh v2 = v02 + 2.g.Dh
EXEMPLO 9: Um corpo é lançado verticalmente para
cima, com velocidade inicial de 20 m/s. Desprezando a resistência do ar e
admitindo g = 10 m/s2 , pede-se:
a) a função horária das
alturas;
g
= - 10 m/s2
v0 = 20 m/s
b) a função horária das
velocidades;
c) o tempo gasto para o
corpo atingir a altura máxima;
d) a altura máxima atingida
em relação ao solo;
e) o tempo gasto pelo corpo
para retornar ao solo;
0
f) a velocidade do corpo ao
tocar o solo.
origem das posições
Solução: Adotaremos como positiva a
trajetória para cima: o movimento em questão é um MUV.
a) S = S0 +
V0 t + ½ g
t2
, como V0 =
20 m/s
S0 = 0 e g = -10
m/s2
substituindo na eq. teremos: S = 20 t - 5
t2
b) V = V0 + g t
Substituindo os valores já conhecidos teremos: V = 20 - 10 t
c) Na altura máxima ( V = 0
)
V = 20 - 10 t então: 0 = 20 - 10 t
Þ 10 t = 20 Þ t = 20 / 10
logo t = 2
s
d) Substituindo t = 2s em S = 20 t -
5 t2 ,
temos:
S = 20 . 2 -
5 . 22
então S = 40 - 20 ou seja: S =
20m
e) No solo (S = 0) , pois retorna a
origem.
S = 20 t - 5 t2 , substituindo S
= 0 na eq. teremos:
0 = 20 t - 5 t2
Þ 0 = 5t (4
- t)
Þ t = 4s
f) Substituindo t = 4s em V = 20 - 10 t,
temos:
V = 20 - 10 . 4
Þ V = 20 - 40
Þ
V = -20 m/s
(negativa porque é contrária ao sentido positivo
adotado).
Observe no exemplo anterior
que: - Tempo de subida = tempo de
descida.
- Velocidade de saída =
velocidade de chegada (em módulo).
Esta observação é válida
para qualquer corpo lançado verticalmente para cima, mas sempre em relação
ao mesmo plano de
referência.
EXERCÍCIOS DE
APRENDIZAGEM:
46) Um corpo é abandonado do
alto de uma torre de 125 metros de altura em relação ao solo. Desprezando a
resistência do ar e admitindo g = 10 m/s2 ,
pede-se:
a) a função H =
f(t);
b) a função v =
f(t);
c) o tempo gasto para
atingir o solo;
d) a velocidade ao atingir o
solo.
47) Uma pedra é lançado no
vácuo verticalmente para cima com velocidade de 10 m/s. Qual a altura máxima
atingida pela pedra? Adote g = 10 m/s2 .
Exercícios de
Fixação:
48) Assinale com V de verdadeiro ou F de falso:
( ) 1. As acelerações dos corpos em queda livre dependem das massas dos corpos.
( ) 2.Na queda livre o tempo de queda pode ser determinado se conhecermos a altura de queda e a aceleração da gravidade do local.
( ) 3.Na queda livre, a velocidade com que o corpo chega ao plano de referência pode ser determinada se conhecermos a altura de queda relativa a esse plano e a aceleração da gravidade do local.
( ) 4.Na queda livre os espaços percorridos na vertical são proporcionais ao tempo de percurso.
( ) 5.Na queda livre, quando o corpo atinge a metade do percurso, sua velocidade será igual à metade da velocidade com que atinge o plano de referência.
( ) 6.Na queda livre os espaços percorridos na vertical são proporcionais aos quadrados dos tempos de percurso.
( ) 7. Um corpo lançado verticalmente para cima realiza movimento uniformemente acelerado.
( ) 8. No lançamento vertical ascendente no vácuo o tempo de subida é igual ao tempo de queda.
( ) 9. A partir de um plano de referência um corpo é lançado verticalmente para cima com velocidade V. Ao retornar ao plano de referência o corpo apresenta velocidade em módulo igual a V.
( ) 10. Você poderá calcular a máxima altura atingida por um corpo lançado verticalmente para cima no vácuo se conhecer a velocidade de lançamento e a aceleração da gravidade do local.
( ) 11. No ponto de cota máxima, a velocidade de um corpo lançado verticalmente para cima, no vácuo, vale a metade da velocidade de lançamento.
( ) 12. Considere um ponto da trajetória de um corpo lançado verticalmente para cima, no vácuo. No retorno, ao passar pelo ponto considerado, o corpo apresenta velocidade em módulo igual à que apresentou na subida.
